Вы используете устаревший браузер. Этот и другие сайты могут отображаться в нём некорректно. Вам необходимо обновить браузер или попробовать использовать другой.
Приветствую!
Есть оф руководство как создавать кастомные методы доставки.
https://docs.woocommerce.com/document/shipping-method-api/
Однако нет ни слова, как к своему методу добавлять какие-то данные для дополнительных настроек метода, например, добавить <select> и потом вместе с заказом...