С количеством разобрался, виновник на скрине.
Но, корзина обновляется не через Ajax, а страница просто перезагружается, также не обновляется итоговая сумма при изменении способа доставки.
Количество товара обновляется, если отключить jQuery в корзине, т.к.,возможно, он подключается 2 раза...