Заказчик, наверное, как минимум дизайнер. Круче чем в WOO. То что письма доходят до адресата с данной шапкой, а после правок могут не дойти -- это заказчику понравится. Успокойте его

пусть думает о других проблемах.
От исправления стилей на пару пикселей прямо таки письма перестают доходить?
Допустим даже так, любое изменение можно потестить, заменив почту "заказчика" на свою и заполнить пару тестовых форм.
Вы похожи на тех ленивых разработчиков, которые смотря на какой-то шаблон думают "Ай, и так сойдёт, зачем париться?!". И на все просьбы заказчиков, что-то поменять придумывают странные оправдания для того, чтобы этого не делать.
Подход к решению задачи весьма скверный. Шаблон на то и шаблон, чтобы его можно (а по правде говоря, даже нужно) менять под свои нужды.
public_html/wp-content/plugins/woocommerce/templates/emails/
вроде здесь свои донастраивал. давно было, плохо помню.
Но обязательно скопируйте в дочернюю тему в /woocommerce/emails/
А вам спасибо за предоставленное решение.