Вы используете устаревший браузер. Этот и другие сайты могут отображаться в нём некорректно. Вам необходимо обновить браузер или попробовать использовать другой.
Зачем? Rest API создана для интеграции в внешними системами.
Корзину наполняют люди, чтобы затем перейти к следующим этапам (оплата, доставка).
Если это делает внешняя система, то она уже имеет всю необходимую информацию для создания заказа.
ИМХО: Если Вам понадобилась "корзина" в REST API, то...
Проверил на WooCommerce 2.3.x и последней WooCommerce 2.4.x на теме storefront.
В обоих случаях при переключении доставки пересчет итога работает корректно.
Вероятно проблема с темой. Какай тема используется? Если премиум, то обращайтесь к автору темы.